Классическая электронная теория проводимости металла

Опыты, проведенные Рикке в 1901 г., Мандельштамом и Папалекси в 1913 г., Толменом и Стюартом в 1916 г. показали, что носителями тока в металлах являются электроны. Ток в металлах можно вызвать крайне малой разностью потенциалов. Это даёт основание считать, что электроны перемещаются по металлу практически свободно.

Появление этих свободных электронов объясняется тем, что при образовании кристаллической решётки от атомов металлов легко отрываются слабее всего связанные валентные электроны. Можно показать, что концентрация их достигает Классическая электронная теория проводимости металла электронов в . При такой высокой концентрации электронов средняя сила, действующая на электрон со стороны всех остальных электронов и ионов, равна нулю и, следовательно, электроны можно считать свободными частицами и их взаимодействие с ионами можно рассматривать как ряд последовательных соударений.

В этом приближении система электронов может анализироваться как система одноатомных молекул идеального газа. Исходя из этого, Друде и позднее Лоренц распространили результаты кинетической теории газов (см лекции 1,2) на свободные электроны — на так называемый электронный газ и получили законы Ома, Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

В позапрошлом семестре изучались эти законы [см. конспект лекций, ч. II, формулы (16), (38) в лекциях 6,7].

Плотность тока проводимости равна произведению удельной электрической проводимости проводника на напряжённость электрического поля в проводнике, т.е.

Удельная тепловая мощность тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряжённости электрического поля в проводнике, т. е.

где в (1) и (2) g — удельная электропроводность (g = 1/r).

Друде и Лоренц показали, что для металлических проводников

где n — концентрация свободных электронов, e и m — заряд и масса электрона, álñ -средняя длина свободного пробега электрона, ávñ — средняя скорость теплового движения электрона. Согласно формуле (30) в лекции 1,2 ávñ Классическая электронная теория проводимости металла и при Т = 300 К, (масса электрона Классическая электронная теория проводимости металла ), Классическая электронная теория проводимости металла .

Скорость же направленного движения (скорость дрейфа электрона), возникающего благодаря электрическому полю Классическая электронная теория проводимости металла . Для Классическая электронная теория проводимости металла , (заряд электрона ), vдр = = 0,78 мм/с, т. е. много меньше скорости теплового движения электрона.

Итак, классическая теория объяснила законы Ома, Джоуля-Ленца, Видемана-Франца. Вместе с тем она имеет ряд недостатков.

Строгий анализ с использованием квантовой теории показал, что не все валентные электроны свободно движутся по решётке с тепловыми скоростями, а лишь малая их часть.

Подавляющее число валентных электронов в электропроводимости (как и в теплоёмкости) не участвуют. Это приводит к расхождениям между классической теорией и практикой.

Например, из (3) следует, что ~ ~ , а на практике в большом диапазоне изменения температур g ~ 1/Т.

Эти и другие расхождения объясняет квантовая теория.

Электронная проводимость металлов

Классическая электронная теория проводимости металла Классическая электронная теория проводимости металла

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 114.

Обновлено 7 Сентября, 2020

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 114.

Обновлено 7 Сентября, 2020

В 10 классе известно, что вещество, являющееся проводником, должно содержать много высокоподвижных носителей электрического заряда. Наилучшими проводниками в нормальных условиях являются металлы. Кратко рассмотрим механизм электронной проводимости металлов.

Вещества, обладающие металлической проводимостью, как правило, имеют во внешней электронной оболочке малое количество электронов, которые относительно слабо связаны ядром и внутренними электронными оболочками. Это и определяет особенности металлической кристаллической решетки.

В кристалле металла ионы с внутренними электронными оболочками образуют узлы решетки, как и в любом другом кристалле.

А электронные облака внешних валентных электронов перекрывают друг друга так, что они оказываются общими не только для двух ионов (как это бывает в ковалентной связи), а сразу для нескольких ионов.

В результате электроны могут свободно перемещаться между всеми этими ионами, попадая в поле действия более далеких ионов, и перемещаясь уже между ними.

То есть, электроны в кристаллической решетке металла движутся не строго по орбитам между соседними атомами (как в ковалентном кристалле), а образуют своего рода «электронный газ», распределенный по всему кристаллу.

Рис. 1. строение металлической кристаллической решетки.

Такое строение кристаллической решетки приводит к тому, что электроны очень легко способны перемещаться под действием внешнего электрического поля. То есть, металлы, имеют много свободных легких электронов и обладают большой проводимостью.

Доказательством существования свободных электронов явились опыты, проведенные в 1916г Т. Стюартом и Р.Толменом (позже выяснилось, что такие же опыты ставились и ранее Л. Мандельштамом и Н.Папалекси, но результат их не был опубликован).

Идея этих опытов состоит в том, что если внутри металла существуют свободные электроны, то при движении кристаллической решетки с ускорением электроны должны «отставать» от ионов. В результате на разных концах кристалла концентрация электронов должна быть разной, и порождать разность потенциалов.

Для опыта использовалась катушка, к которой был подключен чувствительный телефонный капсюль. Когда катушка колебалась вокруг продольной оси, в ней возникала электроинерционная разность потенциалов, и капсюль издавал звук.

Классическая электронная теория проводимости металлаРис. 2. Опыт Мандельштама и Папалекси.

В 1900г П.Друде, основываясь на положениях молекулярно-кинетической теории, и рассматривая электроны в металле, как идеальный газ, создал классическую электронную теорию проводимости металлов. Первоначально эта теория не учитывала распределение скоростей электронов, учет этого распределения был выполнен в 1904г Х.Лоренцем.

Теория Друде-Лоренца смогла объяснить законы Ома, Джоуля-Ленца, механизм проводимости и зависимости сопротивления от температуры.

Однако, со временем стало появляться все больше данных, необъяснимых в рамках классичепской теории. В частности, имелись расхождения по температурному коэффициенту сопротивления, по значениям теплоемкости.

И уж совсем необъяснимым было явление сверхпродоимости, открытое в 1911г.

Все эти расхождения имеют квантовый характер, и поэтому объясняются в рамках более совершенной квантовой теории проводимости твердых тел (зонной теории проводимости).

Классическая электронная теория проводимости металлаРис. 3. Зонная теория проводимости.

Высокая проводимость металлов обуславливается особенностями кристаллической решетки, в которой электронные облака соседних атомов сильно перекрываются друг с другом, поэтому электроны могут легко перемещаться между атомами, обеспечивая низкое электрическое сопротивление. Первоначально была разработана классическая теория проводимости Друде-Лоренца. В настоящее время она сменилась зонной теорией проводимости.

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 114.

А какая ваша оценка?

Гость завершил

Тест «Мертвые души»с результатом 14/19

Гость завершил

Тест Евразия (7 класс)с результатом 11/14

Гость завершил

Тест «Бесприданница»с результатом 13/15

Гость завершил

Тест «Мастер и Маргарита»с результатом 15/16

Гость завершил

Тест на тему «Большевики»с результатом 4/5

Гость завершил

Тест «Алые паруса»с результатом 11/12

Гость завершил

Тест «Ася»с результатом 9/14

Гость завершил

Тест Евразия (7 класс)с результатом 3/14

Гость завершил

Тест по произведению «Юшка»с результатом 9/11

Не подошло? Напиши в х, чего не хватает!

Электрический ток в металлах: подробное объяснение (формулы)

Электрический ток в металлах представляет собой упорядоченное движение свободных электронов. Более подробно об этом читайте далее в нашей статье.

Важно знать

Как известно, электрический ток – это упорядоченный поток носителей электрического заряда. Носители – это заряженные частицы, способные свободно перемещаться во всем объеме тела.

В случае металлов этими частицами являются электроны, которые высвобождаются при образовании связи между атомами металла.

Известно, что металлы в твердом состоянии имеют кристаллическую структуру. Частицы в кристаллах расположены в определенном порядке, образуя пространственную решетку (кристалл).

Наконец, кристаллическая решетка металла образована положительными ионами, погруженными в “облако” хаотически движущихся так называемых свободных электронов, также называемых электронами проводимости.

В зависимости от валентности атомов металла, один атом может освободить от одного до трех электронов при образовании металлических связей. Число таких высвобожденных электронов непосредственно переводится в число носителей заряда.

Читайте также:  Черная полиуретановая краска для металла

Это является одним из факторов, влияющих на способность металла проводить электрический ток.

Доказательством того, что ток в металлах вызывается электронами, послужили эксперименты наших отечественных физиков Леонида Исааковича Мандельштама и Николая Дмитриевича Папалекси, а также американских физиков Бальфура Стюарта и Роберта Толмана.

Способность металла проводить электрический ток может быть описана физической величиной, называемой удельным электрическим сопротивлением. Эта физическая величина обозначается греческой буквой ρ (читается как “ро”). Единицей измерения удельного сопротивления является Ом · м, т.е. произведение Ом на метр.

Удельное сопротивление – это константа, которая характеризует материал и имеет различные значения для разных материалов. Например, удельное сопротивление меди составляет 1.72*10-8 Ом · м. Это означает, что электрическое сопротивление медного проводника длиной 1 метр и площадью поперечного сечения 1 м равно 1.72*10-8 Ом .

В целом, чем ниже удельное сопротивление материала, тем лучше он проводит электрический ток.

В таблице ниже приведены некоторые примеры удельного сопротивления часто используемых металлов.

Металл Удельное сопротивление (Ом · м)
Серебро 1.59*10-8
Медь 1.72*10-8
Алюминий 2.82*10-8
Вольфрам 5.6*10-8
Железо 10*10-8

Удельное электрическое сопротивление может быть связано с микроскопическими свойствами материала. В частности, он зависит от концентрации носителей заряда и их подвижности.

Движение свободных электронов в металлах не является полностью “свободным”, поскольку во время их движении они взаимодействуют с другими электронами, и прежде всего с ионами кристаллической решетки. Специфика этого движения описывается так называемой классической моделью проводимости.

Основные предположения и выводы этой модели представлены в большом упрощении ниже.

Классическая модель проводимости

Без внешнего электрического поля электроны совершают тепловые хаотические движения, сталкиваясь друг с другом, а также сталкиваясь с ионами кристаллической решетки. В результате такого движения среднее положение электронов практически не меняется (см. рис. 1.).

Классическая электронная теория проводимости металлаРис. 1. Пример траектории электрона во время его хаотического теплового движения в металле

Из-за квантовых эффектов, и в частности из-за принципа запрета Паули, который не позволяет всем электронам занимать самое низкое энергетическое состояние, средняя скорость электронов в металлах, связанная с их хаотическим тепловым движением, больше, чем скорость частиц в классическом идеальном газе той же температуры. Она составляет порядка 10 м/с.

Если электрическое напряжение U приложено к концам проводника длиной L в нем появится электрическое поле с напряженностью E = U / L

Под действием этого внешнего поля, согласно второму закону динамики, электроны ускоряются: a = F / m,

где F = e*E – сила, с которой электрическое поле действует на электрон с зарядом e. Таким образом, ускорение электрона составляет: a = e*E / m .

Ускоренное движение электрона длится лишь довольно короткое время, пока он не столкнется с иономкристаллической решетки. В результате такого столкновения электрон теряет практически всю свою кинетическую энергию.

Однако замедленный электрон не остается в состоянии покоя – он снова ускоряется под действием электрического поля, снова сталкивается с одним из ионов из ионы кристаллической решетки и т.д.

Этот эффект добавляет к скорости тепловых движений дополнительную направленную среднюю скорость u, которая из-за отрицательного заряда электрона имеет направление, противоположное напряженности внешнего электрического поля. Эта скорость называется средней скоростью дрейфа (рис. 2).

Классическая электронная теория проводимости металлаРис. 2. Дрейф электрона под действием внешнего электрического поля

В проводнике начинает течь электрический ток с силой тока I (см. рисунок 3).

Классическая электронная теория проводимости металлаРис. 3. Дрейфующие электроны сталкиваются с ионами кристаллической решетки

Предполагая, что движение электрона равномерно ускоряется между столкновениями с ионами решетки, с ускорением a = e*E / m , и предполагая, что в результате столкновения электрон передает всю свою кинетическую энергию кристаллической решетке, мы можем вычислить скорость, которую развивает электрон в своем свободном движении: v = a*τ . В этой формуле τ – средний интервал времени между последующими столкновениями дрейфующего электрона с ионами кристаллической решетки.

Поскольку при равномерно ускоренном движении без начальной скорости средняя скорость является средним арифметическим начальной (равной нулю) и конечной скоростью, то получаем: u = v / 2 = e*E*τ / 2*m .

Из полученной формулы следует, что скорость дрейфа, помимо внешнего электрического поля, определяется средним интервалом времени между столкновениями электронов с ионами решетки.

Этот параметр зависит от многих факторов (включая температуру, кристаллическую структуру металла, дефекты кристаллической структуры, примеси) и, как выясняется, существенно влияет на электрическое сопротивление материала.

Средняя дрейфовая скорость электронов составляет порядка 10-4 м/с. Она очень мала по сравнению со скоростью теплового движения, которая составляет порядка 106 м/с.

Классическая теория проводимости достаточно хорошо описывает явление электропроводности в металлах. Однако эта теория не может объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость электрического сопротивления от температуры.

Причина упомянутой неудачи классической теории проводимости заключается в том, что она не учитывает влияние ионов решетки на движение электронов между столкновениями.

Более близкие к реальности результаты дает квантовая теория проводимости, которая описывает электроны как частицы, подверженные квантовой статистике, движущиеся в периодическом электрическом поле, создаваемом положительными ионами решетки.

Выводы простым языком

Отрицательный заряд всех свободных электронов по абсолютному значению равен положительному заряду всех ионов решётки. Поэтому в обычных условиях металл электрически нейтрален. Свободные электроны в нём движутся беспорядочно.

Но если в металле создать электрическое поле, то свободные электроны начнут двигаться направленно под действием электрических сил. Возникнет электрический ток.

Беспорядочное движение электронов при этом сохраняется, подобно тому как сохраняется беспорядочное движение в стайке мошкары, когда под действием ветра она перемещается в одном направлении.

« Скорость движения самих электронов в проводнике под действием электрического поля невелика – несколько миллиметров в секунду, а иногда и ещё меньше. Но как только в проводнике возникает электрическое поле, оно с огромной скоростью, близкой к скорости света в вакууме (300 000 км/c), распространяетcя по всей длине проводника. »

Перышкин А. В. Физика 8. – М.: Дрофа, 2010

Как пример, электрический сигнал, посланный, например, по проводам из Москвы во Владивосток (s = 8000 км), приходит туда примерно через 0,03 с.

Одновременно с распространением электрического поля все электроны начинают двигаться в одном направлении по всей длине проводника. Так, например, когда цепь электрической лампы замкнута, электроны в спирали лампы также движутся упорядоченно.

Сравнение электрического тока с потоком воды в водопроводной системе и распространения электрического поля с распространением давления воды поможет нам понять это.

Когда вода поднимается в резервуар для воды, давление (напор) воды очень быстро распространяется по всей системе водоснабжения. Когда мы включаем кран, вода уже находится под давлением и сразу же начинает течь.

Но вода, которая была в кране, течет, а вода из башни достигает крана гораздо позже, потому что вода движется с меньшей скоростью, чем распространяется давление.

Когда говорят о скорости распространения электрического тока в проводнике, то имеют в виду скорость распространения по проводнику электрического поля.

Классическая электронная теория электропроводности металлов и ее опытные обоснования. Закон Видемана-Франца

Классическая электронная теория электропроводности металлов и ее опытные обоснования. Закон Видемана-Франца.

Электрический ток в металлах –это упорядоченное движение электронов под действием электрического поля.
Это предположение было экспериментально подтверждено в опыте К. Рикке (1911).

Через цепь из трех последовательных цилиндров — медного, алюминиевого и снова медного — в течение долгого времени (около года) пропускался электрический ток — в общей сложности через цилиндры прошел заряд 3,5 МКл.

Читайте также:  Договор на переработку лома черных металлов

Однако никаких следов переноса вещества ( меди или алюминия) не было обнаружено.

Отсюда следовало, что электропроводность металлов отвечают свободные заряды, общие для всех металлов — на эту роль подходили только электроны.

Еще одно  убедительное доказательство электронной природы тока в металлах было получено в опытах с инерцией электронов (опыт Толмена и Стьюарта)(1916).

Катушка с большим числом витков тонкой проволоки приводилась в быстрое вращение вокруг своей оси. Концы катушки с помощью гибких проводов были присоединены к чувствительному баллистическому гальванометру. Раскрученная катушка резко тормозилась, и

в цепи возникал кратковременных ток, обусловленный инерцией носителей заряда. Полный заряд, протекающий по цепи, измерялся гальванометром.

При торможении вращающейся катушки на каждый носитель заряда e массой m действует тормозящая сила, которая играет роль сторонней силы, т. е. силы неэлектрического происхождения:

Сторонняя сила, отнесенная к единице заряда, по определению является напряженностью  поля сторонних сил:

      Следовательно, в цепи при торможении катушки возникает электродвижущая сила:

Классическая электронная теория проводимости металла

      За время торможения катушки по цепи протечет заряд q, равный:

Классическая электронная теория проводимости металла

      где – длина проволоки катушки, I – мгновенное значение силы тока в катушке, R – полное сопротивление цепи,  – начальная линейная скорость проволоки.

Полученное в опытах значение удельного заряда носителей тока в металле оказался близким к удельному заряду электрона  

      Хорошая электропроводность металлов объясняется высокой концентрацией свободных электронов, равной по порядку величины числу атомов в единице объема.

      Предположение о том, что за электрический ток в металлах ответственны электроны, возникло значительно раньше опытов Толмена и Стюарта. Еще в 1900 году немецкий ученый П.

Друде на основе гипотезы о существовании свободных электронов в металлах создал электронную теорию проводимости металлов. Эта теория получила развитие в работах голландского физика Х. Лоренца и носит название классической электронной теории.

Согласно этой теории, электроны в металлах ведут себя как электронный газ, во многом похожий на идеальный газ.

      Электронный газ заполняет пространство между ионами, образующими кристаллическую решетку металла. Из-за взаимодействия с ионами электроны могут покинуть металл, лишь преодолев так называемый потенциальный барьер. Высота этого барьера называется работой выхода.

      При обычных (комнатных) температурах у электронов не хватает энергии для преодоления потенциального барьера. Согласно теории Друде–Лоренца, электроны обладают такой же средней энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного идеального газа. Это позволяет оценить среднюю скорость теплового движения электронов по формулам молекулярно-кинетической теории:  

      При наложении внешнего электрического поля в металлическом проводнике кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение (дрейф), то есть электрический ток.

 Величина дрейфовой скорости электронов лежит в пределах 0,6 – 6 мм/c.

Таким образом, средняя скорость упорядоченного движения электронов в металлических проводниках на много порядков меньше средней скорости их теплового движения.

      Малая скорость дрейфа не противоречит опытному факту, что ток во всей цепи постоянного тока устанавливается практически мгновенно. Замыкание цепи вызывает распространение электрического поля со скоростью  = 3·108 м/с. Через время  (l – длина цепи) вдоль цепи устанавливается стационарное распределение электрического поля и в ней начинается упорядоченное движение электронов.

      В классической электронной теории металлов предполагается, что движение электронов подчиняется законам механики Ньютона.

В этой теории пренебрегают взаимодействием электронов между собой, а их взаимодействие с положительными ионами сводят только к соударениям.

Предполагается также, что при каждом соударении электрон передает решетке всю накопленную в электрическом поле энергию и поэтому после соударения он начинает движение с нулевой дрейфовой скоростью.

  •       Несмотря на то, что все эти допущения являются весьма приближенными, классическая электронная теория качественно объясняет законы электрического тока в металлических проводниках: закон Ома, закон Джоуля – Ленца и объясняет существование электрического сопротивления металлов.
  •       Закон Ома:
  • Электрическое сопротивление проводника:
  •       Закон Джоуля–Ленца:
  • Немецкие физики Видеман и Франц на основе экспериментов установили (закон Видемана — Франца) (1853), что для всех металлов при одной и той же температуре отношение теплопроводности К к удельной электрической проводимости g одинаково:
  • Позже (1888 г.)  Лоренц показал, что отношение пропорционально абсолютной температуре Т:

Электронная теория металлов позволила получить этот закон и вычислить значение константы С, основываясь на предположении, что теплопроводность металлов в основном осуществляется электронами проводимости, т.е. электронным газом.

Теплопроводность газа 

Где  C1=3k2/e2   C1=2.23*10-8 Дж2/(Кл*К)2

Эта величина оказалась лишь ненамного меньше значения, найденного из опытов.

Классическая электронная теория проводимости Друде-Лоренца

Теория Друде была разработана в 1900 году, через три года после открытия электрона. Затем теория была доработана Лоренцом, и сейчас она является классической и актуальной теорией проводимости металлов.

Электронная теория Друде-Лоренца

Согласно теории, носителями тока в металлах являются свободные электроны.

Друде предположил, что электроны в металле подчиняются и могут быть описаны уравнениями молекулярно-кинетической теории. Другими словами, свободные электроны в металле подчиняются законам МКТ и образуют «электронный газ».

Двигаясь в металле, электроны соударяются между собой и с кристаллической решеткой (это и есть проявление электрического сопротивления проводника). Между соударениями электроны, по аналогии с длиной свободного пробега молекул идеального газа, успевают преодолеть средний путь λ. 

Без действия электрического поля, ускоряющего электроны, кристаллическая решетка и электронный газ стремятся к состоянию теплового равновесия.

Приведем основные положения теории Друде:

  1. Взаимодействие электрона с другими электронами и ионами не учитывается между столкновениями.
  2. Столкновения являются мгновенными событиями, внезапно меняющими скорость электрона.
  3. Вероятность для электрона испытать столкновение за единицу времени равна 1τ.
  4. Состояние термодинамического равновесия достигается благодаря столкновениям.

Важно.

Несмотря на множество допущений, теория Друде-Лорецна хорошо объясняет эффект Холла, явление удельной проводимости и теплопроводность металлов. Именно поэтому она актуальна по сей день, хотя ответы на многие вопросы (например, почему в металле существуют свободные ионы и электроны) смогла дать только квантовая теория твердого тела.

В рамках теории Друде объясняется сопротивление металлов. Оно обусловлено соударениями электронов с узлами кристаллической решетки.

  • Выделение тепла, согласно закону Джоуля-Ленца, также происходит по причине соударения электронов с ионами решетки.
  • Теплопередача в металлах также осуществляется электронами, а не кристаллической решеткой.
  • Терия Друде не объясняет многих явлений, как например сверхпроводимость, и не применима в сильных магнитных полях, в слабых магнитных полях может терять применимость из-за квантовых явлений.
  1. Среднюю скорость электронов можно вычислить по формуле для идеального газа:
  2. v=8kTπm
  3. Здесь k — постоянная Больцмана, T — температура металла, m — масса электрона.
  4. При включении внешнего электрического поля, на хаотичное движение частиц «электронного газа» накладывается упорядоченное движение электронов под действием сил поля, когда электроны начинают упорядоченно двигаться со средней скоростью u. Величину этой скорости можно оценить из соотношения:
  5. j=nqu,
  6. где j — плотность тока, n — концентрация свободных электронов, q — заряд электрона.
  7. При больших плотностях тока рассчеты дают следующий результат: средняя скорость хаотичного движения электронов во много раз (≈108) больше скорости упорядоченного движения под действием поля. При вычислении суммарной скорости полагают, что
  8. u→+v→≈v→

Формула Друде

  • Формула Друде выводится из кинетического уравнения Больцмана и имеет вид:
  • σ=nq2τm*
  • Здесь m* — эффективная масса электрона, τ — время релаксации, то есть время, за которое электрон «забывает» о том, в какую сторону двигался после соударения.
  • Друде вывел закон Ома для токов в металле:
  • j=σ·E→
Читайте также:  Самостоятельная установка регистров отопления: схемы, замеры, советы

Опыт Толмена и Стюарта

В 1916 году опыт Толмена и Стюарта дал прямое доказательство тому, что носителями тока в металлах являются электроны.

Суть опыта была в следующем. 

Опыт Толмена и Стюарта

Проводящая катушка с проводом длиной L вращалась вокруг своей оси с большой скоростью, а ее концы были замкнуты на гальванометр. Когда катушку резко тормозили, свободные электроны в металле продолжали двигаться по инерции, и гальванометр регистрировал импульс тока.

Считая, что свободные электроны подчиняются законам механики Ньютона, можно записать, что при остановке проводника электрон приобретает ускорение v' (в катушке направлено вдоль проводов). При этом на электрон действует сила, направленная противоположно ускорению.

  1. F=-mv'
  2. Под воздействием этой силы электрон ведет себя так, как если бы на него действовало поле E=-mv'q. Эдс, возникающую в катушке при торможении можно записать, как:
  3. ε=∫LEdl=-mv'q∫Ldl=-mv'qL
  4. Считая, что ускорение одинаково в каждом витке, можно записать закон Ома для катушки, а затем вычислить заряд, проходящий в ней за время dt:
  5. IR=-mv'qL
  6. dq=Idt=-mLdvqRdtdt=-mLdvqR
  7. Заряд, прошедший от момента начала торможения до остановки:
  8. q=-mLqR∫v00dv=-mLv0qR
  9. Опыт Толмена и Стюарта получил хорошее согласование с теорией, полученное экспериментально отношение qmсоответствовало отношению заряда электрона к его массе.

Пример

  • При T=300К  вычислите среднюю скорость теплового движения свободных электронов.
  • Решение.
  • Вычислим среднюю скорость, применяя формулу для идеального газа:
  • v=8kTπm
  • k=1,38·10-23 ДжК
  • m=9,31·10-31кг
  • Подставляем значения и вычисляем:
  • v=8·1,38·10-23·3·1023,14·9,31·10-31≈105 мс

Классическая электронная теория проводимости Друде-Лоренца

Интерпретация разных свойств вещества с точки зрения движения и существования электронов является содержанием электронной теории. Эту теорию создал Друде, а доработал Лоренц. Он исходил из того, что электроны в металле ведут себя как молекулы идеального газа. В классической теории металлов считают, что движение электрона описывают законы Ньютоновой механики.

В промежутках между соударениями электроны движутся свободно, проходя в среднем путь $lambda $. Взаимодействия электронов и ионов (их соударения) ведут к тому, что кристаллическая решетка и электронный газ приходят в состояние теплового равновесия. На электронный газ Друде распространил результаты кинетической теории газов.

  • Так, например, среднюю скорость движения электронов делают в соответствии с формулой:
  • где $k$ — постоянная Больцмана, $m_e$ — масса электрона.
  • В том случае, если проводник находится во внешнем электрическом поле, то на тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение с некоторой скоростью $leftlangle u
    ight
    angle .$ Размер этой скорости можно оценить из формулы:

[leftlangle v
ight
angle =sqrt{frac{8kT}{pi m_e}}left(1
ight),] [j=nq_eleftlangle u
ight
angle left(2
ight),]

где $n$ — концентрация свободных электронов, $q_e$ — величина заряда электрона, $j$ — плотность тока. Расчеты показывают, что $leftlangle u
ight
angle approx {10}^{-3}frac{м}{с}$, тогда как $leftlangle v
ight
angle approx {10}^5frac{м}{с}$ .

Получается, что при больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов в ${10}^8$ раз меньше, чем их средняя скорость хаотического движения.

Следовательно, если требуется вычислить модуль суммарной скорости, то полагают, что:

[left|overrightarrow{v}+overrightarrow{u}
ight|approx left|overrightarrow{v}
ight|left(3
ight).]

  1. Определим, насколько внешнее электрическое поле изменяет среднее значение кинетической энергии электронов. Средний квадрат суммарной скорости равен:
  2. То, что электроны будут иметь скорость теплового движения равную $leftlangle v
    ight
    angle , $а скорость упорядоченного движения составит $leftlangle u
    ight
    angle $ — независимые события, следовательно, из теоремы об умножении вероятностей можно записать, что:
  3. Но мы знаем, что $leftlangle overrightarrow{v}
    ight
    angle =0$, значит выражение (4) примет вид:
  4. Можно сделать вывод о том, что наложение внешнего поля увеличивает кинетическую энергию электронов в среднем на величину, равную:
  5. Друде считал, что при соударении электрона с ионом, энергия, представленная в выражении (7) передается от электрона иону, при этом скорость электрона после удара становится равной нулю. Исходя из этой предпосылки Друде получал закон Ома в виде:
  6. где величина, которая стоит перед напряженностью электрического поля (E), есть не что иное, как коэффициент удельной проводимости ($sigma $), равный:
  7. Поучилось, что по классической электронной теории электросопротивление металлов вызвано соударениями электронов об ионы, в узлах кристаллической решетки.

[leftlangle {left(overrightarrow{v}+overrightarrow{u}
ight)}^2
ight
angle =leftlangle v^2+2overrightarrow{v}cdot overrightarrow{u}+u^2
ight
angle =leftlangle v^2
ight
angle +leftlangle 2overrightarrow{v}cdot overrightarrow{u}
ight
angle +leftlangle u^2
ight
angle left(4
ight),] [leftlangle overrightarrow{v}cdot overrightarrow{u}
ight
angle =leftlangle overrightarrow{v}
ight
angle cdot leftlangle overrightarrow{u}
ight
angle left(5
ight).] [leftlangle {left(overrightarrow{v}+overrightarrow{u}
ight)}^2
ight
angle =leftlangle v^2
ight
angle +leftlangle u^2
ight
angle left(6
ight).] [leftlangle { riangle W}_k
ight
angle =frac{m_eleftlangle u^2
ight
angle }{2}left(7
ight).] [j=frac{n{q_e}^2lambda }{2m_ev}E left(8
ight),] [sigma =frac{n{q_e}^2lambda }{2m_ev}left(9
ight).]

Также, классическая теория объяснила закон Джоуля — Ленца. Опять — таки, соударениями электронов с ионами решетки, и выделением тепла в их результате.

Эта теория дала качественное толкование закона Видемана — Франца исходя из посыла о том, что теплопередача осуществляется в металле не кристаллической решеткой, а свободными электронами и рассматривая эти электроны как одноатомный газ. При этом было использовано выражение для коэффициента теплопроводности из кинетической теории газов.

Однако эта теория не смогла объяснить все явления связанные с поведением металлов в электрических полях. Так, например, не было дано объяснение того, что электросопротивление металлов растет пропорционально температуре в первой степени.

Следующая серьезная проблема, с которой столкнулась классическая теория электронной проводимости, было объяснение того, что теплоемкость металлов несущественно отличается от теплоемкости неметаллических кристаллов (тогда как согласно классической теории получалось, что молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков).

Опыты Толмена и Стюарта

Прямое доказательство того, что электрический ток в металлах вызван движением электронов было сделано в опытах Толмена и Стюарта (1916 г.). Идея этих опытов была выдвинута Мандельштамом и Папалески еще в 1913 г.

Проводящая катушка может вращаться вокруг своей оси. Концы катушки замыкают на гальванометр посредством скользящих контактов. Катушку, вращающуюся с высокой скоростью, резко тормозят. При этом свободные электроны продолжают по инерции двигаться. Гальванометр регистрирует импульс тока.

  • Если через $dot{v}$ обозначить линейное ускорение катушки в момент торможения (оно направлено по касательной к поверхности катушки, а при плотной намотке и тонких проводах можно положить, что ускорение направлено вдоль проводов), при торможении каждому свободному электрону приложена сила инерции ($F_i$), направленная противоположно ускорению, равная:
  • где $m_e$ — масса электрона. Под воздействием силы $F_i$ электрон ведет себя так, как на него действовало бы поле ($E_{ef}$):
  • Следовательно, ЭДС в катушке может быть записана как:

[F_i=-m_edot{v} left(10
ight),] [E_{ef}=-frac{m_edot{v}}{q_e}left(11
ight).] [{{mathcal E}}_{ef}=intlimits_L{E_{ef}dl}=-frac{m_edot{v}}{q_e}intlimits_L{dl}==-frac{m_edot{v}}{q_e}L left(12
ight),]

где $L$ — длина провода на катушке. Считаем, что все токи провода тормозятся с одним ускорением. Закон Ома для нашей цепи можно записать в виде:

[IR=-frac{m_edot{v}}{q_e}L left(13
ight),]

где $I$ — сила тока в цепи, $R$ — полное сопротивление цепи. Заряд, который протекает по цепи за время dt, будет равен:

[dq=Idt=-frac{m_eLdv}{q_eRdt} dt=-frac{m_eLdv}{q_eR}left(14
ight).]

В таком случае за время торможения от скорости $vleft(t=0
ight)=v_0$ до остановки, через гальванометр пройдет заряд, равный:

[q=-frac{m_eL}{q_eR}intlimits^0_{v_0}{dv}=frac{m_eL}{q_eR}v_0left(15
ight).]

В опыте величину $q$ находили по показаниям гальванометра, $L, R$, $v_0$ были известны. Следовательно, можно найти знак и величину $frac{q_e}{m_e}$. Опыты показали, что найденное отношение соответствует отношению заряда электрона к его массе. Так, доказано, что ток, который проходит через гальванометр, вызван движением электронов.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector